Cho hình tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng: HK ⊥ (ACD).
Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot (BCD)\), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:
a) \(CD \bot (ABH)\)
b) \(CD \bot (ABK)\)
c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm
a) Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)
Có H là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow BH \bot CD\left( 2 \right)\)
Tử (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)
b) Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)
Có K là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow AK \bot CD\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right)\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 , G 2 , G 3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng ( G 1 G 2 G 3 ) / / ( B C D ) .
Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 và G 2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G 1 G 2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Gọi I là trung điểm của CD.
Vì G 1 là trọng tâm của tam giác ACD nên G 1 ∈ A I
Vì G 2 là trọng tâm của tam giác BCD nên G 2 ∈ B I
Ta có :
A B ⊂ ( A B C ) ⇒ G 1 G 2 / / ( A B C )
Và A B ⊂ ( A B D ) ⇒ G 1 G 2 / / ( A B D )
Cho tứ diện ABCD, gọi G 1 , G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD . Mệnh đề nào sau đây SAI?
A. G 1 G 2 ∥ A B D
B. G 1 G 2 ∥ A B C
C. G 1 G 2 = 2 3 A B
D. Ba đường thẳng B G 1 , A G 2 và CD đồng quy.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 và G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. G 1 G 2 //(ABD)
B. G 1 G 2 //(ABC)
C. B G 1 , A G 2 và CD đồng quy
D. G 1 G 2 = 2 3 A B
Gọi N là trung điểm của CD
● Khi đó A, G 2 , N thẳng hàng và B, G 1 , N thẳng hàng.
Do đó, B G 1 , A G 2 và CD đồng quy
Áp dụng định lí Talet đảo, suy ra
Do đó D sai. Chọn D.
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (BCD). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chứng minh (DFK)⊥(ACD)
- Theo giả thiết:
ta có:
- Vậy ta có:
- Lại có:
Tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Trong tam giác \(BCD\) vẽ đường cao \(BE\) và \(DF\) cắt nhau tại \(O\). Trong mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) vẽ \({\rm{D}}K\) vuông góc với \(AC\) tại \(K\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ACD\). Chứng minh rằng:
a) \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)\) và \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)\);
b) \(OH \bot \left( {ADC} \right)\).
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AB \bot C{\rm{D}}\\BE \bot CE\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {ABE} \right)\)
Lại có \(C{\rm{D}} \subset \left( {A{\rm{D}}C} \right)\)
Vậy \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AB \bot DF\\DF \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow DF \bot \left( {ABC} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow DF \bot AC\\DK \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {DFK} \right)\end{array}\)
Lại có \(AC \subset \left( {A{\rm{D}}C} \right)\)
Vậy \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)\\\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)\\\left( {ABE} \right) \cap \left( {DFK} \right) = OH\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {ADC} \right)\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 và G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. G 1 G 2 = 2 3 A B
B. G 1 G 2 / / A B D
C. G 1 G 2 / / A B C
D. B G 1 , A G 2 và CD đồng qui
Cho tứ giác ABCD. Gọi A',B',C',D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC. Chứng minh AA',BB',CC',DD' đồng quy
a) G là trọng tâm của ABCD <=> vtGA + vtGB + vtGC + vtGD = vt0 (1*)
A' là trọng tâm của BCD <=> vtA'B + vtA'C + vtA'D = vt0
<=> 3.vtA'G + vtGB + vtGC + vtGD = vt0 (2*) (chen điểm G vào biểu thức trên)
lấy (1*) - (2*): vtGA - 3.vtA'G = vt0 <=> vtGA = 3.vtA'G
đẳng thức này chứng tỏ vtGA và vtA'G cùng hướng => G nằm trên đoạn AA'
tương tự có B' là trọng tâm của ACD <=> 3.vtB'G + vtGA + vtGC + vtGD = vt0 (3*)
lấy (1*) - (3*): vtGB - 3vtB'G = vt0 <=> vtGB = 3vtB'G
=> G nằm trên đoạn BB'
tiếp tục cho 2 phần còn lại
=> G là điểm chung của các đoạn AA', BB', CC', DD'
b) từ biểu thức trên có: vtGA = -3.vtGA'
=> G chia đoạn AA' theo tỉ số k = -3
các đoạn kia tương tự đều cùng tỉ số k = -3
c) từ cm trên ta có:
vtGA = -3vtGA'
vtGB = -3vtGB'
vtGC = -3vtGC'
vtGD = -3vtGD'
=> vtGA+vtGB+vtGC+vtGD+vtGD = -3(vtGA'+vtGB'+vtGC'+vtGD') (**)
mà G là trọng tâm của ABCD nên vtGA+vtGB+vtGC+vtGD = vt0
(**) => vtGA'+vtGB'+vtGC'+vtGD' = vt0 => G là trọng tâm của A'B'C'D'